28 A. Berger, 



Supposons désormais, que le nombre n ne soit divisible par aucun 

 nombre carré plus grand que l'unité, on aura *) 



0") Tö"=e).-(-''v«, 



où l'on désigne par V" la racine carrée positive du nombre n. Mainte- 

 nant nous distinguerons les deux cas suivants: 



1) Pour n = 1 , mod. 4, nous obtiendrons, en séparant les parties 

 réelles et imaginaires des deux membres de l'équation (161), 



(162) 2 - cos = _ V"' , I - sin = 0, 



^=j ^n' n ^n' ,.=1 ^n' n 



et des équations (159) et (160) nous déduirons pour m ^ 1 



(163) a,„==0 , 6„, = (!^)-^ ; 

 d'après l'équation (158) on a 



(164) „„=^^2 y.; 



en y substituant n — r au lieu de r, il viendra 



(165) a„ = _!^lrVl)(n_0 , 



et des équations (164) et (165) on tire par addition 



(166) a„ = _"T(-) = . 



Cela établi, appliquons les équations (163) et (166) aux équations 

 (156) et (157), nous eu déduirons pour a; ^ 



r\ ^n '"y" (m\ sin2»i7i.t- 



(167) '■JVr^^^^'Y(^)^^^^'^, 



1) Voir Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejjeune Dieichlet. 

 Herausgegeben von R. Dedekind. Vierte Auflage. Braunschweig 1894. Supple- 

 ment I. 



