Sur le développement de quelques fonctions discontinues etc. 31 



Pour les nombres pairs m on a sin = , et par conséquent 



on peut remplacer m par 2m— 1 dans le second membre de cette équa- 

 tion; ainsi nous en déduirons 



(175) ^ ^'JU) = Y (^-^) -^::^^- . 



V?i r=.i' ^n^ ^,= 1 ^ n ^ 2m — 1 



Supposons, que n = 3, mod. 4, et substituons x = dans le théo- 

 rème précédent, nous aurons 



(176) ^T (-)'■ = Y ( , 



n]/n r=i ^"^ «=i ^n' m 



'"=" 'm\ 1 



1 



et pour X = - nous en obtiendrons 

 ^ 2 



(177) iL 



V?2 





m\ (— l)™-i 



m 



Des équations (176) et (177) on tire par addition 



■m\ 1 4.(_l)'»-i 



n— 1 



(178) f Z {'-) - T (^ 



m 



et par suite, en remplaçant m par 2 m — 1 dans le second membre de 

 cette équation, 



II— 1 



^ ^ 2V^ .^. ^n) - ,- '^—^r-^ 2m _ 1 



2)/n 



Maintenant nous transformerons lé premier membre de l'équation 

 (176). De l'égalité évidente 



m\ 1 '"^" /2m\ 1 ."'^""/2m— 1\ 1 



(180) T(=)i.T(^)^ + 'f 



2 m — 1 



on tire 



