4 H. Petrini, 



Nach (5) ist 



(ruz) 



(5**) ^ =- - / (Ps'^^ + Pv ^' *? + P?'P^^ 



(.1-0 .",. -'„) 



wodurch V bis auf eine additive Konstante bestimmt wird. Ist da» 

 reguläre Gebiet von P einfach zusammenhängend, so hat auch das 

 reguläre Gebiet von V dieselbe Eigenschaft, und V kann daher in 

 der Form (3*) dargestellt werden, womit der Satz 2 in diesem Falle 

 bewiesen ist. Wenn aber das reguläre Gebiet von P mehrfach zusam- 

 menhängend ist, so wird V im allgemeinen mehrwerthig; V kann dann 

 durch folgende Betrachtungen bestimmt werden. Man kann das mehr- 

 fach zusammenhängende Gebiet durch Ausführung von gewissen Quer- 

 schnitten in ein einfach zusammenhängendes verwandeln. Nach den Be- 

 trachtungen der Potentialtheoric kann man jeden dieser Querschnitte al& 

 aus zwei unendlich benachbarten Flächen bestehend ansehen, auf denen 

 V in entsprechenden Punkten eine konstante Werthedifferenz hat, und 

 diese Querschnitte können in Bezug auf V als Doppelschichten angesehen 

 werden. Jedesmal ein Querschnitt in derselben Richtung durchsetzt wird/ 

 wächst V mit der bezüglichen Differenz, so dass V in dem ursprüng- 

 lichen mehrfach zusammenhängenden Räume mit einer cykHschen Kon- 

 stante behaftet wird. 



In dem einfach zusammenhängenden Raum kann nun V in der Form 



F= I/ +C 



dargestellt werden, wo F^ eine völlig bestimmte Funktion und C eine 

 willkürliche Konstante bedeutet. Die Funktion }\ ist so bestimmt, dass 

 sie der Gleichung (5*"''') genügt und in einem gegebenen Puakte einen 

 gegebenen Werth hat. F, kann dann durch (3*) dargestellt werden, 

 wenn man zu dem Oberflächenintegrale noch diejenigen, welche über 

 die Querschnitte zu nehmen sind, hinzufügt. Diese sind von der Form 





wo w' und w" die beiden Flächen sind, welche jeden Querschnitt er- 

 setzen können. Sind diese Flächen einander unendlich nahe gelegt,, 

 so wird 



