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REMARQUES 



SUR LA FORME DES RACINES 



NUMÉRIQUEMENT DÉTERMINÉES 



PAR 



C. J. I>:s HIL.1.. 



Il faut distino:uer la forme cossique de la forme Arithmétique. Sur celle- 

 là on a la conjecture d'Euler, que la racine œ de l'équation n^x = o fait 

 2=yy, si {n — {yy = o, mais on a les démonstrations de Ruffini et d'Abel, 

 et d'autres, que cette forme n'est pas générale au delà du IV:me degré. 

 Plutôt si n'x=z, il faut jioser x = n^z et étudier la nature de ce symltole 

 d'après la théorie des fonctions itérées. Quant à celle-ci, on sait que la 

 forme dun binôme imaginaire {x^=x„-\-iXi, i' étant = — 1) est générale 

 pour les racines des équations algébi-iques et même pour une infinité des 

 équations transcendantes. 



De cela il y a bien des démonstrations, et surtout celles de Mr. Gauss 

 sont appréciées pour leur élégance et leur rigueur. Mais il m'a toujours 

 semblé d'un avantage particulier, si l'on pouvait entamer la démonstration 

 d'une telle manière, qu'en même temps une voie sûre était indiquée, sur 

 laquelle on pouvait procéder adroitement à la récherche des valeurs mêmes 

 des parties de la racine («„, «,). Et j'ai trouvé plusieurs manières. La 

 première démonstration si avantageuse, que je trouvais, n'était qu'une mo- 

 dification essentielle de la première démonstration de Mr. Gauss. C'est 

 celle que j'ai autrefois communiquée à la société physiographique ici. Une 

 autre j'avais l'occasion de produire 1837 conjointement avec un procédé 

 de resolution fondé là-dessus. Elle est composée en latin et déjà Hvrée à 

 la presse. Mais à présent je propose deux telles demonstrations, dont l'une 

 n'est qu'une modification de celle de Mr. d'Alembert, mais applicable aux 

 équations transcendantes. L'autre m'est plus particulière, aussi bien comme 

 celle composée en latin, et fondée sur la consideration d'une courbe à 



double courVjure. 



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