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• Voici ces 



Deux Demonstrations 

 du Théorème, dit Fondamental de l'Algèbre: 



"Les racines d'une équ. Alg. (ra'« = o) sont ou réelles ou ont la forme 

 d'un binôme imaginaire x=a;„-{-{x, , •P étant = — 1." Ou bien autrement: 

 "Chaque fonction entière n'œ a des facteurs réels ou du l:r {ne — à) ou du 

 2:me degré (x'' — ax-^-b)" 



Mr. d'Alembert en a donné une démonstration , que nous exposerons 

 d'abord brièvement, puis nous en donnerons une nouvelle, laquelle se prê- 

 tera mieux à la recherche des racines imaginaires. 



Soit n^a;=y une fonction entière quelconque de x et supposons, que 

 l'équation 7i'x = v n'ait point de racines réelles, ou du moins qu'une de ses 

 racines demeure imaginaire d'une forme inconnue tant que la valeur de v 

 sera entre les limites a et b, de manière que x ait une valeur réelle a dans 

 l'équation n'x=a, et une /3 dans n'x = b, (ce qui pourra se toujours faire, 

 puisque il ne faut pour cela que prendre «=«,'<* et b = n'ß), et que les 

 valeurs oi,-\-u, ß — a de x soient imaginaires dans les équations n'x = a-\-u} 

 et n'x = b — w, w étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra. Donc 

 par les substitutions x = ci-{-u, et «=«'*, l'équation n^x = a-\-w deviendra 



w = M . /i,,_(- ïi', n2-\-u^. n^-j- . . . (où «,, = w,'i3t = dn'a : dct= èn'a,, 



1 d''7i'Bt' 



n. 



{day 



, SCc.) Or si w, n'est pas =o, on aura par reversion 



u= — — J + , 



<&;c. 



n, 



n: 



Cette série sera très-convergente et partant réelle, w étant infiniment 

 petite. Donc u sera une quantité réelle contre l'hypothèse. Il faut donc, 

 que w, soit = 0. On aura donc, en extrayant la racine, y/'^=Us/^^ + u''.Vi+.., 



'à 3 



et de même, si l'on avoit en même temps %2 = o, ym^u. y^-f «'•'^i+^c. 

 et partant en général y^=M.y^+M'v,-f î*'v^+ • • , et on en tirera pareille- 

 ment M="A/i:i+iV,.j "i/^l +.., et cette série sera encore convergente, w 



étant une quantité petite à volonté. Donc si "\/— est réel, il faut que u 



le soit aussi. Il faudra donc, pour que u cessera d'être réelle, que l'on 

 n'ai y^ pas réel, comme lorsque w,. est négatif, et r pair. Dans ce cas 



r 



on aura \/— =c. yT ou de la forme c^+ec,, et par conséquent m sera 



