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aussi de la même forme. Mais une racine impaire comme '\/~ esta vo- 



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lonté réelle ou imaginaire, et partant si nt = o = ni ou l'équation n''x = n"a à 

 trois racines égales, deux de ces racines passeront à l'imaginaire, la troisi- 

 ème restant réelle. En général il s'ensuit de cela, qu'une racine ne peut 

 passer du réel à l'imaginaire sans devenir multiple, et si elle est double 

 ou quadruple SCc, ce passage sera inévitable. L'affaire sera la même à 

 l'autre limite b; ce qu'on prouvera de la même manière. Nous remarquons 

 encore, que cela a nécessairement lieu, 



{si n] et = 0, et TO;a<;o) si toutefois M"a<;w°/3, 

 ou si«? /3 = 0, et %;^<oJ (ou a< b). 



Maintenant, puisque, quand la valeur de v est très-près d'une des 

 limites a ou b, une des racines de l'équation n''x=v est nécessairement de 

 la forme p-\-qi, si cette racine n'est toujours de la même forme pour 

 toutes les valeurs de v comprises entre ces limites, soit c la plus grande 

 valeur de v, pour laquelle x sera de cette forme, de manière que dans 

 l'équation n'x=c on ait x^x„-{-iXi , et soit x=x„-\-ix,-\-u dans l'équation 

 n°x=^c-\-uû. On aura donc en substituant et développant n°(x„-{-ijri) = c et 

 c-\-w = n°(.r„-\-ix-^u) = n\:r„-\-i:r^)-\-u.n°(x„-^ixi)-\-... ou u)=u.nl(3:„-\-iz,) 



Mais les coefficients de u\ ne contenant que des puissances entières 

 de a;„-|-û-,, sont toutes réductibles à la forme p-{-iq: ainsi l'équation pré- 

 cédente deviendra ^<.[«cr)„+^(TOÎ:^•),]+^t^[(n°Jr)„ + ^(w°a;),] + .. . = üJ. Mais on 

 tire de-là par réversion u sous la forme ä,..w-)-/3,.w'-|-7,.w^-)-... ou H„-|-^^{, 

 (=i{,), les coefficients et,., ;6,, y, 8Cc. étant tous de la forme p-\-iq, (savoir 



ct,= ot„ -f l'ot, = ^ ' ,~ » ^i=!^a-\-ißi &^c.), et la série (?«,) étant conver- 



gente à volonté. On aura donc M = M„-f z.tt, , et par conséquent la valeur 

 de X sera encore de la même forme, savoir = J:„-|-^«„+^(^,+^«,), x„-\-u„et 

 jr,+?*, étant des quantités réelles. Donc il n'y a aucune valeur de v inter- 

 médiaire entre les limites a et b, pour laquelle la racine x ne soit pas de 

 cette même forme. On raisonnera de même pour d'autres intervalles , d'où 

 l'on prouvera, que toute équation Fx=o, dont les fonctions dérivées Fx, 

 F„x, &c. sont réductibles à la forme de binômes imaginaires, lorsque x est 

 de telle forme {=x„-\-ix^'), a des racines imaginaires, (ou réelles, si x^ se 

 trouve = 6). 



Or c'est le cas des fonctions rationelles, donc toute équation Algé- 

 brique a des racines réelles ou imaginaires de la forme binôme r„-j-i.r,. 



