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ses coefficients étant réels ou imaginaires. 



Cor. Donc toute équation algébrique à coefficients réels se résout en 

 facteurs réels linéaires ou quadratiques. L'affaire sera la même, si ses co- 

 efficients sont imaginaires, puisque une telle fonction est facteur d'une à co- 

 efficients réels, (car n"x->rir"j: divise (n°.r)- + (r'a)'). 



ILme Demonstration. 



Le Théorème fondamental se demontre aussi d'une manière assez 

 directe, que voici: 



Soit v'.r une fonction entière sans racines égales, ou une, qui par 

 la substitution imaginaire .z-\-iy prend la même forme z-^iu^v'^x-^-yï), 

 où z et u sont des fonctions données (=n°.7^ et r'''J~y = {v''z)„ et (fV),) de .r 

 et y, qui expriment les parties réelles et imaginaires de v'(.r + z?/). Donc 

 d^.z-\-iô,u=v](x-\-yi), ô^-\ridyU = i.v]{x-\-iy) = i{ô^z-\-iôjn), et par suite ôj;= 

 â^u et à^z = — âjt ou z^=u, et Zi= — u\ Or z = n'''x^j et ?« = r°.^ peuvent 

 se représenter par des surfaces, dont elles sont les équations à coordon- 

 nées rectangulaires, et n°^=r°J^ est l'équation de la projection de la cour- 

 be à double courbure, qui est l'intersection de ces surfaces, dont la trei- 

 zième ordoimée est =z = u. Or v''x étant une fonction entière de x, et par 

 suite «"x^ et r'\^ de .r ei y, ces surfaces sont continues et leur intersec- 

 tion donc l'est aussi, laquelle pour des coordonnées infinies commence à 

 une distance infinie du plan xy, et y approche ou indéfiniment, jusqu'à le 

 rencontrer et même passer de l'autre coté de ce plan, ou bien elle faudra 

 s'en éloigner, après y avoir approché à une distance z minimum, sans pou- 

 voir l'atteindre. Or pour cet effet il faudra, que dz^dn'x^^nKdx-^nßy 

 soit =0, n"J^ étant =r''j^ et par suite n'dx-{-nßy = r'dx-\~rßy = o, d'où 



• cil/ 11 y *'-v 



vient — -^ = — = _, ou w'.r, =9;,.r'. Or n^ = ô^z = z\ n^=z,, o,u = u^ et 



dx H, ?'| 



r, = u/, donc z'îi, = Ztu', ou u,- = — ?(,% ce qui ne se peut sans que ?«, soit 

 = et u'=o et par suite z^ = o = Zi et v°{x-\-iy) = z'-\-m' =o, ce qui exige, 

 que v'x-^o ait des racines égales, contre l'hypothèse. Donc il faut que la 

 ligne d'intersection des deux surfaces z = ')i"xy et u = r"xy coupe le plan xy, 

 et qu'il y a donc des valeurs de 03 et y qui fassent 2:= o = î«, ou n°J^i = oei 

 r''^ = o à la fois, et par suite v°(x+iy) = z^iu = o^i.o = o, ou que l'équa- 

 tion v"t = o a-t-une racine d'une forme imaginaire binôme {t = x-\-iy); ce qu'il 

 fallait démontrer. 



Cor. Or il est évident, que cette démonstration est applicable à toutes 

 les fonctions v°x, qui manquent de racines égales et par la substitution 

 vXx+iy) prend la forme z-{-iu et fournissent des valeurs continues pour z et 



