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u. Donc pour toute telle fonction (v°x), l'équation v'.r=o a des racines ou 

 réelles ou imaginaires. 



Remarque. La démonstration que nous venons de donner du Thé- 

 orème fondamental de l'Algèbre devient plus claire par la considération plus 

 |)articulière de la courbes à double courbure z = n"xy=r''xy, et même on 

 peut en obtiner une nouvelle démonstration, qui est telle, qu'on pourra 

 en fonder une méthode praticable de trouver les racines imaginaires. 



Soit donc dr'''x^=pdx-\-qdy, ou j9=r'=M' et q = r^=^l^, et dn°xy de- 

 viendra = qd.T-pdy, puisque w' = 2'=?('=5' et n, =^f,= -t«,= -jt?. Donc dz=ijdx \ 



qdy = — pdy + qdx , et de-là dy = i — ^ . dx . 



Soit s l'arc de la dite courbe et a sa projection sur le plan xy 



et nous aurons d<s^ = dx^-\-dy'' = dx'.~—^ — i-^ et dz =^ — L.dx, et ds^ = da^-\- 



{p+qY 2)+q 



dz"- = ^M^!±^.(2+/ + ^'); donc ds': io' = 1 + .i . (^r+ r/) , ce qui surpasse 



toujours l'unité, p''-{-q'' ne pouvant s'évanouir, que dans le cas excepté des 

 racines égales, ce que nous avons tout à l'heure démontré. Donc la ligne 

 s d'intersection des surfaces z = n°7^/ et u = r°7^ ne coincide jamais avec sa 

 projection a, mais est toujours plus ou moins inclinée sur le plan xy, 

 qu'elle pour cette raison même enfin coupe nécessairement, ne pouvant ja- 

 mais y devenir parallèle ou en retourner. 



Cor. Pour trotiver une racine imaginaire, il suffit donc de poursuivre 

 une branche quelconque de la dite courbe d'intersection, dont les équa- 

 tions sont z = r''xy et z-n°xy, et on y approchera plus rapidement, plus 

 2J'-hÇ^ ou r'-4-r,^ est grand. 



Pour cet effet il faut employer des substitutions imaginaires x^iy, 

 qui rendent vXx-^iy)=z-^iu et z = %i ou r°7y=}i°7y. Donc, ayant pris x à 

 volonté, il faut chercher y de cette équation, qui n'est que du v-ênie dé- 

 gré; dont les valeurs approchées suffiront. 



Or s'il n'y a des racines réelles, on peut négliger le facteur y de 

 r"x^y, OU prendre -^ au lieu de j-"™; dans tel cas l'équation n"xy = -.r''xy 



y , . , . JL 



ne contient que y^ (et pas y) et peut se déprimer au degré iv ou \r-l , en 

 faisant ?/- = w'. Donc au lieu de la dite ligne d'intersection, on peut con- 

 sidérer celle, dont les équations sont z = n"xy et z = c.^"xy, si v\r + iy= »".r^+ 

 y.^'JJ/.i. Dans ce cas si d(''^ = d^ = ^'.dx-\-^,dy, il nous vient v'.r + i,/ = 

 «"C.y)+*'-2/^"C,2/)=f.îi"«) + ^"^ + 3/-^"(^4)' tl'où l'on tire ai' = n"(.:,y) = 



