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^-\-yi, et w,=»''(cc,j)= — y.i?', et dz=n\dx-\-n,dy = c.{i'dx + ^ßy), donc 

 dv = dxrJ^=dx.^J^4^ et dz=cdxJ^^^^^^^. dont le numérateur 



est =.?,ïi'+y^'2=|-(«.^+^'-^f)- 



Mais s'il n'y a de racines égales, nc-{-v}'^ n'est pas =o mais a-t-une 

 valeur finie, qui surpassera bientôt 7i'(^, lorsque on fait converger ^ vers 

 zéro. Donc à mesure qu'on avancera vers les valeurs z=o=n''xy = c^°xy, 



^ -— 1 _^ _ surpassera de plus en plus l'unité et la courbe considérée cou- 



da'i dn- 



pera le plan ocy sous un angle assez grand, pour que l'approximation soit 

 sure et rapide, surtout si l'on prend c ainsi que c^\+yi' soit prêt à s'éva- 

 nouir. 



Or pour avoir un point de départ sûr, faisons x = <X) , et v''(x+iy) se 

 réduit à peu près à son premier terme (a;+^y)"=(a;")„+^(a;''),, à ce que «°cry de- 

 vient =(a;')„ ou =x''-v,y\x''-'+v,.y\x'-*- ... et rXxy) = (x''), = v.x"-'y-V3.x-y+.., 

 donc l'équ. n''xy=r"xy ou x'-vx''-'y-v^x"-'^y'''^-v.X'Y~-' = ^ fournit y=c'\x = (X) , 

 si c est une racine de l'équ. c" — vc""' — v2d"'^-\-ViC"^-\-v^c'"* — vV"*+... = o, qui 

 a des racines réelles, puisque elle se réduit à (l-^■).(c+^)'' — {i^i).{c-iy = o, 



ouf— r^ — ~— -i, d'où c4-^ = (c-^).y^ ^i c = -^ — i-^, dont une valeur est 

 \c-i) Ui yï_i 



= ^4±£i=.i±i^=,-.4ii!=-4 = n^,) ou bie„=4-4= 



V /"- = la nouvelle cotang. de T— V Or la valeur générale de c de- 



r r r r . 



. , . l+z" . i-J'+e-»' (<"-'' )o . r ff>'^r 



vient ■=. %. — — = ^. ■ = -^^ — ^ ou =: nouv. cot — - = J — , savoirzz: 



la nouvelle cotangente de ..—,—, — ,.. .-^, et _ (ou^f), ce qui four- 



1\) "Iv Iv Iv Zl/ 



nit c = T — , si ç= 1, 2, 3, ... v. Faisons puis ce = — oo etnoustrou- 



verons de même y = c'^. ( — oc ) = — oc . Donc la dite intersection marche 

 de l'infini positif à l'infini négatif assez régulièrement, puisque les diverses 

 branches, dont la courbe d'intersection (s) est composée, ne peuvent jamais 

 retourner, mais passent nécessairement le plan xy. Mais puisque à a;=GO 



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