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tiennent à chaque branche. Delà il est clair que chaque équation algé- 

 brique de la forme v''x = o a v racines réelles ou imaginaires (de la forme 

 binôme imaginaire x = x^-\-iXi, r étant = — 1); et même pour trouver celles- 

 ci, il faut seulement poursuivre assez loin chaque branche de la courbe 

 d'intersection des surfaces z=n''xy et z = r''xij, si n°{x-\-iy) = n''xy^i.r°xy. 



Pour cet effet il faut étudier plus spécialement ces branches, dont 

 une propriété fondamentale est, comme nous avons démontré, de s'appro- 

 cher toujours au plan xy jusque à le couper dans un point , dont les coor- 

 dinées x et y fournissent une racine imaginaire =x-\-iy . 



Comme chaque branche à ses deux bouts infinis est perpendiculaire 

 au plan xy, et à chaque point fini est y plus ou moins inclinée, il y aura 

 un point, où l'inclinaison est la plus petite; et si ce point est encore bien 

 éloigné du plan xy , l'approche des autres points et celle de la branche à 

 ce plan sera plus rapide. 



Or si l'inclinaison de la courbe s au plan xy est =ij, on a (sec. /;)' 

 = ds'-:d(i''=i+\{p''-\-q-)= le plus grand ou le petit, lorsque p'-vq"' ou r'-+r,'- 

 est le plus grand (= oo ) ou le plus petit. 



Donc il faut qu'on fasse è ((r')- + (r,)2) = o ou r'^r'+r|^r|=o, ou 

 r'(r"(^jc+r,'(5y) + r,(rj'(ïx + r,,^3/) = o ou, puisque ^x:èy=r\ri:r-r\{=q^-p:q-p), 

 (r'r"+r,}'|')(r'+r|)-|-(rV,'+r,r,|)(r,-/'') = o, c'est à dire 



r"(î''2+r,r')-f-r,'(2r,r'+r,--r'-)+r,,r|(r,-r') = o . 



Cette équation et Tfxy = r\\y déterminent ensemble les coordinnées 

 .V et y du point de la plus petite inclinaison (»;„). L'ayant donc ainsi trou- 

 vée, on aui'a dx:da=Ti]> Tî]„, et, puisque dn- = dx^-{-dy'-, aussi dz:dx> Trj^ 

 et d~:dy>T%, d'où l'approche au plan xy sera rapide, si T»/" (et partant T^) 

 trouve un peu grande. Mais dans des cas ordinaires on peut en juger plus 

 facilement par la marche même des valeurs de r,"--|-r''- , si celles-ci restent 

 un peu considérables. 



à Lund, le 26 Mars 1836. 



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