Sur l'intégration des équations différentielles du pendule conique. 3 

 (11) P(c) = 2p{l-z%z + - r = 2ff(ct^z)ic-ß){c-y) , 



« , /3 et 7 étaut ainsi les trois racines de réquation cubique P(z) = 0. 

 Puisque P( — oo) ;> et P( — 1) = — /-' , on a une des trois racines j/ <; _ 1 ; 

 ensuite, puisque c doit avoir un maximum et un minimum, ces deux va- 

 leurs seront en vertu de (10) respectivement les deux autres racines a. 

 et /3, la plus grande racine a. étant nécessairement positive ' à cause de 

 l'équation a./6 _|_ ay _)_ /3y = _ 1 , et toutes les deux comprises entre + 1 

 et — 1 à cause de Téquatiou (5). A ces points de maximum et de mini- 

 mum de c ou a 



(12) i' = {i-ci?)r = (i-ß')T\', 



V et ]'\ étant les valeurs de v respectivement pour z = a. et z =z ß. 



De l'équation (5), deux fois différentiée et combinée avec (9), 

 on tire, 



résultat qui au moj^en du système (1) se transformera dans l'équation 

 suivante, 



(13) N=3c/z-\-2gc. 



A l'aide de cette équation les deux premières équations (1), eu 

 égard à la formule (4), se transformeront à l'équation suivante du second 

 ordre et de forme complexe, 



(14) ^+(3pz + 2<fc)Y=0, 



équation qui, après l'élimination de z au moyen de (10), prendra la 

 forme d'une équation de Lamé. C'est en employant l'intégrale connue 

 de cette équation que M. Hermite, dans les Notes citées, a développé les 

 propriétés du pendule. 



Après ces préliminaires je vais, exposer la méthode annoncée ci- 

 dessus. 



Formules générales pour exprimer les intégrales du pendule. 



2. D'après la formule (2) de ma seconde Note déjà citée, on a 

 en général, Pi/'j et '^{z) étant des polynômes à coefficients constants, 

 £r la r-ième des n racines de 1 et J/j , . . . , Mp, des entiers positifs. 



