Sur l'intégration des équations différentielles du pendule conique. 11 



Si l'on pose A = sn a et que l'on désigne par ii^ et u^ les deux 

 suites des zéros de l'expression (sn^/< — ^4"), on aura d'après la manière 

 usitée d'écrire, 



(53) 



Iiij = a -\- 2 tu K -\- 2n i /v , , 

 «2 = — a -^ iriiK -\- 2n /A", ; 



donc on obtiendra d'après (49), 



(54) /"' '''' , = Ru + Z j '■'^-"' logfl-") + V / '-^-"^ Jogfl .._!1\ 



où les sommations s'étendent à toutes les valeurs positives et négatives 

 des entiers m et n , y compris- zéro. 



En observant que les dérivées (sn"«^)' = 2 sna(sna)' et (sn^^fj' = 

 — 2snrï(sna)', et que l'on peut remplacer u.^ par — u^ dans les sommations 

 on pourra écrire la formule (54) de cette manière, 



.^KN /"" du Tf , 1 VI "i — " 



(«•^) —2 Fî = ^" + .5 ? Y 2 ^""S —7— 5 



J„ sn M — A' zsna[sna) Ui -{■ u 



où la constante H se déterminera d'après (50), pour C/ = , par la 

 formule. 



-J." sna(sna)' u^ 



(56) -V. = ^-:;;Ti:;v^-^ 



résultats dans les quels on reconnaîtra les formules de l'intégrale ellip- 

 tique de troisième espèce. 



Si l'on jjose iB = snib et que l'on désigne par v^ et v.^ les deux 

 suites des zéros de l'expression (sn"w + 5^), ou aura les formules, 



{ 11, = ib 4- 2 m K 4- 2 >i, iK^ , 



(57) • 



^ l i'2 = — ib -\-2)n K -\- 2 ni Ai ; 



donc il suffira de remplecer a par ib et «i par l'i dans les formules 

 (55) et (56) pour avoir les résultats suivants, 



(58) f'-l^. = H, n + ^^ ./^ .^^, Z log ^ - " 



Jo snhi -j-B^ 2snib (sn i h)' Vi -{- u 



