2 M. Falk, 



En effet, soit 



où ip{t) et i//(i) sont fonctions réelles. Par la définition même de l'inté- 

 ß 



grale nous avons 



/p l'P rP 



f(t)dt= I (fj(t)dt-\-i ijj(t)dt 



Maintenant (p(t) et ipÇf) étant par supposition imiformes et con- 

 tinues, on sait, par la théorie des intégrales des fonctions réelles, que 

 les intégrales qui figurent dans le second membre de cette formule sont 

 finies et parfaitement déterminées. Donc il faut que l'intégrale du pre- 

 mier membre le soit aussi, ce qu'il fallait bien prouver. 



4. Si, /(p , t) étant une fonction de (j et de i , on se donne une 

 quantité positive a, aussi petite qu'on voudra, et que pour chaque va- 

 leur de t depuis t = a jusqu'à i = /?, une autre quantité positive â^ puisse 

 s'obtenir, telle que 



a) |/(p + h\ t) -I\q ,t)\<o pour \h\<â, , 



il ne s'ensuit pourtant pas qu'il existe une quantité positive â indépen- 

 dante de i, telle que pour toutes les valeurs de t en question 



ß) I/Cp + h,t) -/(P ,t)\<^ pour \h\<S . 



Ainsi, par exemple, désignons par F{t) le développement en série 

 trigonométrique de l'expression 



Cette série sera convergente pour chaque valeur de t depuis 

 t = — n jusqu'à t = n . Alors on a pour <t^ <n^ 



F(t) = {n' - t')t-'l' . 



Pour t = cette équation n'a pas lieu, mais la série trigonométrique 

 donne 



F{0) = . •) 



1) Voir: Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafunc- 

 tionen einer Veränderlichen, von D:r J. TnOMyE, Zweite vermehrte Auflage, pp. 15 et 16. 



