Démonstration du Théorème de Cauchy. 3 



Cela posé, prenons 



d'où il suit 



f(.Q + h,t)-f{ç,t) = hF(t). 



Ici pour chaque valeur donnée de t, depuis t = — n jusqu'à t = jt, 

 la fonction F(t) est finie et parfaitement déterminée; par suite on peut 

 toujours, pour une valeur donnée de ^, obtenir une quantité positive (V de 

 manière que 



\fXQ + h,t) -f{(j ,t)\<o pour \h\<ô\. 



Mais il est évident que <)' tendra vers la limite zéro, quand t se 

 rapproche indéfiniment de zéro ') et que, par suite, il n'existe aucune 

 quantité positive ()' telle que, pour toutes les valeurs de t en question, 



\f{9 + /^ -/(P . I < ^ PO^r \h\<ô\ 



Dans ce cas on dit que /(p , t) est fonction continue de la seule 

 variable q pour chaque valeur donnée de t entre t = — tî et t = tt ^ mais 

 elle n'est, pas fonction continue des deux variables indépendantes q et t 

 dans une partie du plan des coordonnées (q , t) dans laquelle sont situés 

 des points pour lesquelles on a i = , puisque la fonction F(t) est dis- 

 continue pour t = . 



6. Si, au contraire, /((* , t) est fonction continue des deux variables 

 (p , t) dans chaque point d'une certaine i^artie du plan des coordonnées (p , i), 

 il existe nécessairement, pour chaque valeur positive de a , une quantité ])osi- 

 tiv'e å (qui, en général, dépend de d) telle que, pour tous les points situés 

 à l'intérieur de la partie mentionnée du jjlan 



|/(î> + h , t) _/(p , I < ^ pour \h\<â, 



ce qui, par suite, sera vrai piour une valeur donnée de ç et pour toutes les 

 valeurs de t comprises entre deux limites, telles que tous les points déterminés 

 par ces valeurs de q et de t soient situés dans l'intérieur de la dite partie 

 du plan. 



En effet, /((> , t) étant, en chaque point de la partie du plan, 

 fonction continue des deux variables ^ et ^, on peut, après avoir donné 



1) En eiFet, la valeur absolue cie F(t) croît au dela de toute limite, quand t 

 se rapproche indéfiniment de zéro. 



