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la valeur de o, trouver une quantité positive â, telle que en tous les 

 points dans l'intérieur de la partie du plan 



|/(î> + /^,t-\-k)-f(^,t)\<a pour \h\<â,\k\^(y ,') 



Supposant ici ^ = et choisissant, dans l'intérieur de la partie 

 du plan, une courbe déterminée par une valeur constante de ç, on ob- 

 tiendra précisément la formule (/?), ce qu'il fallait bien prouver. 



6. Si /(p , t) et J ^^ 1 '' sont fonctions uniformes et continues des 



deux variables réelles {(j , t) dans l'intérieur d'une certaine partie du plan 

 et que la courbe décrite par le point mobile (p , i) pour une valeur fixe de 

 Q , t allant de t = a a t — ß , soit tout entière située dans l'intérieur de la 

 partie mentionnée du p/an, on a, a et ß étant indépendantes de p, 



»/V.o..=/™.., 



c'est-à-dire que, dans ce cas, on peut intervertir l'ordre de la differentiation 

 et de l'intégration, ^) 

 En effet, soit 



(p(Q,t) et i//(p , i) étant fonctions réelles. D'après le n:o 3 nous avons 

 J f(ç,t)dt=J (p{Q,t)dt + iJ xp{^,t)dt , 



1) Voir: Elementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen 

 Veränderlichen, von J. Thom^, Halle 1880, § 39. 



2) Les conditions énoncées dans ce théorème sont suffisantes mais non pas 

 nécessaires. On n'a pas, jusqu'à ce jour, réussi à trouver les conditions à, la fois né- 

 cessaires et suffisantes. — Dans une note au bas de la page 23 du Traité: Briot 

 und Bouquets Theorie der Boj^pelt-periodischen Fimetionen und insbesondere der El- 

 liptischen Transcendenten .... dargestellt von Hermann Fischer, Halle 1862, on lit: 



»Es ist nur dann erlaubt, in diesem Integral» — ^'f{z)dz — die Reihenfolge der 



Integration und Differentiation zu wechseln, wenn die Function f{£) innerhalb des 

 Eaumes, in welchem sich z bewegt, endlich bleibt». Mais une telle condition est 

 évidemment insuffisante, ce qui a été signalé par M. J. THOMiE dans son Traité ex- 

 cellent: Einleitung in die Theorie der hestimmten Integrale, Halle 1875, §. 31, auquel 

 j'ai emprunté les conditions suffisantes énoncées dans le théorème ci-dessus. 



