Démonstration du Théorème de Cauchy. 

 d'où l'on obtient 



j /((, , t)dt = -^J <f'((j , f)dt + i±-j ip(^, , t)dt 



En vertu de la continuité des fonctions /(p , f) et ^-^^^^ ^^ , I 



, .es 



fonctions (f, i/' et leurs dérivées partielles par rapport à ç sont aussi 

 continues. On a par suite, d'après un théorème connu, 



h 9p = = > • 



Maintenant, par supposition, ^' ^^ ' ^ est fonction continue des 



9^ 



deux variables indépendantes (p , f) dans une certaine partie du plan, et 

 la courbe le long de laquelle l'intégrale est prise, est située tout entière 

 dans l'intérieur de cette partie du plan; donc, en posant 



9y(p + gÅ,0 ay(^,0 _^ 



9p 9p 



et en vertu du n:o 5, nous avons 



1 6 1 < (T pour \^h\<S , 



â étant une quantité positive qui ne change pas de valeur, quand t 

 varie de t = a à t = ß. Par conséquent, on obtient 



h 9p 



et, par suite, 



^ r^cKp , 0^^^ = lim f^lk±]h0^fklll dt = 

 ope/ h=o J h 



=.rMl^dt+ lim f'.dt 



