Démonstration du Théorème de Cauchy. 7 



8. Eu posant 



x^iji = z , 



y(.i-,y) peut être considérée comme une fonction de la seule variables, 

 à ce point de vue que, à chaque valeur de 2, il correspond un seul 

 système de valeurs de x et de y, et si ce système appartient à un 

 point dans la partie du plan où la fonction f{x , y) est donnée, cette 

 fonction devient alors déterminée par la valeur de z. Ces considéra- 

 tions justifient la notation F{z) au lieu de J\x , y). Par suite, au lieu de 

 l'équation du n:o 7, nous pouvons écrire 



F{£) = (f{x,y) + iilj(ix,y) . 



Cependant on ne fait ordinairement usage de la notation FCz) 

 que dans le cas où la fonction est monogène (Voir n:o 10). 



9. Attribuant à z un accroissement quelconque A 2, x et y 

 éprouveront des accroissements correspondants à.x et Ay, liés à A^ 

 par la relation 



Az = à.x -\- i Ay . 



Le changement åe 2 eu z -\- Az équivalant à remplacer à la fois 

 X par X -\- Ax et y par y -}- Ay, on obtient 



F{z + A2) = 9)(^ + A« ,y + Ay) + ixp{x + A*- ,y + Ay) , 

 pourvu que la fonction soit donnée au point (x -\- Ax ,y -{■ Ay) . 



10. Lorsque le rapport 



F(z-\. Az)-F(z) 

 Az 



tend vers une même limite, quand Az se rapproche indéfiniment de zéro^ 



d'une manière quelconque, cette limite s'appelle la dérivée de F(z) (par 



,7 pfr\ 

 rapport h z); on la représente ordinairement par F'{z) ou par j • 



En chaque point ou F(z) admet une dérivée, la fonction s'appelle 

 monogène. 



