Démonstration du Théorème de Cauchy. 11 ■ 



13. Ces couveutions faites, nous démontrerons d'abord le théo- 

 rème dans le cas où F'{:) , </)'(?) et ifi'Q) sont continues. Dans ce cas 

 aucune des courbes considérées ne sera brisée. 



Désignant par J l'intégrale (5), on a en vertu du n:o 6 



1^ =jHfr + P V) </'' • 'Jt +fP{(f' + i>ip)iiJ.(<f' + (j ip') dt , 



" 



puisque, par les suppositions faites, la fonction qui multiplie dt sous le 

 signe / et sa dérivée par rapport à p sont fonctions uniformes et con- 

 tinues des deux variables indépendantes q et t. 

 De l'identité évidente 



-Jf\F(sr+Qxp).ip\= F\if + Qi/j)ip. ((f' + Qip') + F((fJ + Q,p).ip' 



on obtient par l'intégration 

 J F{(f + Qip)ip.((f' + çip')dt = j F((p + ^ip)xp-j F((p + Qiij)ip'dt . 



" 



r) / 



Par suite l'expression de - — devient 



c'est-à-dire, en vertu de (4), 



Puisque la dérivée de J par rapport à q est finie pour toutes les 

 valeurs de ç depuis p = jusqu'à q = 1 , J est elle même fonction 

 continue de p; et puisque cette dérivée est égale à zéro, J a aussi la 

 môme valeur pour toutes ces valeurs de p.') Les valeurs p = et p = 1 

 nous donnent par suite 



1) Voir: Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale, von D:r J. 

 Thom/E, §. 10. 



