12 M. Falk, 



'^F[cp{t)-]cp'(t)dt = f>[y(0 + ^p{t)] [cp'{t) + ^pXt)■]dt 



/■ 



Le théorème est donc démontré dans le cas où F'(z)i (f'{t) et 

 yj'(t) sont continues. 



14. Supposons comme auparavant que F^z) soit continue mais 

 que (f'(t) soit discontinue au point t = r entre t = et i = s , c'est-à-dire 

 que la courbe ^ = (p(t) soit brisée au point déterminé par t = r. Alors 

 nous traçons, dans l'intérieur de la partie du plan, une courbe non-brisée 



C = 9AÛ 



par les trois points i = 0, t = t et t z= s . En vertu de ce que nous 

 venons de démontrer au n:o 13, nous avons ici 



. fF[<p(t)-]g>Xt)dt=J^F[^,{t)]cp\(t)dt , 







j^F[_cp{t)]cp\t)dt =-fF[cfm<p\(t)dt , 



d'où par l'addition 



fFlcp(t)]y,'Q)dt = fF[^Xt)']<J'\Q)dt , 

 'o 



c'est-à-dire que l'intégrale relative à la courbe brisée ^ = y(i) est égale 

 à l'intégrale relative à la courbe non brisée ^ = g>i{t). Cela s'étend de 

 la même manière au cas où la courbe ^ = (pQ) est brisée en un nombre 

 fini quelconque de points distincts. Si l'autre courbe £ = çp (0 -|- (// (0 

 est aussi brisée, on la remplacera de la même manière par une courbe 

 non-brisée passant par les mêmes points extrêmes et par ses points 

 singuliers. Les intégrales relatives au deux courbes non-brisées étant 

 égales en vertu du n:o 13, celles relatives aux courbes brisées le sont 

 aussi. Le théorème est donc démontré pour le cas ou F'(z) est contmtie et 

 quand les courbes le long desquelles l'intégrale est prise ne sont pas brisées 

 en un nombre infini de points. 



15. Supposons enfin que F'{z) soit discontinue en un nombre quel- 

 conque de points distincts dans la partie du plan ; le théorème relatera vrai 

 aussi dans ce cas. 



