Démonstkation du Théokéme de Cauchy. 13 



En effet, supposons qu'il y ait sur la courbe 



uu nombre quelconque de points où F'(:) est discontinue, mais qu'il n'y 

 ait de tels points ni sur la courbe 



ni sur les courbes intermédiaires représentées par 



pour 0<()<1. Alors supposant, ce qui est évidemment permis, que 

 (pXO ^t ip'(t) soient continues, on a pour toutes ces valeurs de q 



(1) f F{^ + ip) (g^' -{. llj')dt = j'F{g, + Qip) (q>' + Qip')dt . 







Puisque la fonction F{.z) elle-même est continue dans toute «ia 

 partie du plan, l'intégrale 



(2) rF[<p(.t)W(.t)dt 



a une valeur finie et parfaitement déterminée. Nous avons aussi, en 

 vertu des n:os 1 et 2 



(3) 



j F((p + p ,/;) (y' + p ip') dt — r F{(p) (f>' .dt\< Ms , 



où M est le maximum de 



(4) \F{q> + i> H>) W + ? «/^0 - F{^) <f' I 



pour les valeurs de t depuis t = jusqu'à t = s. Mais puisque nous 

 avons supposé (p' et ip' continues, on peut prendre la valeur de p si 

 près de zéro que, pour toutes ces valeurs de f, l'expression ('4) soit 

 < Ö , quelque petite qu'on ait pris la quantité positive a. Par suite on 

 a aussi 



M<a . 



