Démonstration du Tpiéorème de Cauchy. 



15 



et, par suite, réquation précédente devient 



(& ItljO) 



(a m b) 



OU 



fF(z)dz^ fF(z)dz = , 



(a mb) 



(ft m t a) 



c'est-à-dire 



ß 



\F{z)dz = , 



{amb m^ a) 



ce qu'il fallait bien prouver. 



18. On dit qu'une courbe du contour (simple ou complexe) est 

 décrite dans le sens positif, si elle est décrite dans un sens tel, qu'un 

 observateur ait toujours à sa (fauche l'aire enveloppée. Cette convention 

 faite, le théorème précédent peut s'étendre au cas d'une aire à contour com- 

 plexe, pourvu que l'intégrale 



iF{z)dz 



soit prise dans le même sens, par exemple dans le sens positif, le long du 

 contour complexe total. 



En effet, supposons que le contour complexe consiste de deux 

 courbes fermées, dont l'une est située entièrement dans l'intérieur de 

 l'aire enveloppée par l'autre et ne rencontrant celle-ci en aucun point. 

 Alors, dans la partie du plan à laquelle l'ensemble de ces deux courbes 

 est le contour complexe, nous faisons une coupure allant de l'une des 

 deux courbes à l'autre. L'ensemble des deux bords de la coupure et 

 des deux courbes du contour complexe devient alors un contour simple 

 à la même partie du plan. En vertu du théorème du n:o 17 l'intégrale 

 définie 



fF(z)dz , 



prise dans le sens positif le long de ce contour 

 simple, est égale à zéro. Cette intégrale se décom- 

 pose en une somme de quatre intégrales, en sorte 

 qu'on obtient 



