Démonstration du Théorème de Cauchy. 17 



V intégrale jF{z)dz relative au contour entier est égale h zéro, pourvu que h 

 V exception du point z = a, la fonction soit synectique dans l! intérieur de la 

 partie du plan. 



En effet, soit C le contour simple et décrivons du point a comme 

 centre un cercle c avec un rayon infiniment petit r. En prenant les 

 intégrales relatives à ces deux courbes dans le sens positif par rapport 

 aux aires qu'elles enveloppent, on a, en vertu du théorème du n:o 19 



ÇF{z)dz= i'F{z)dz . 



Posant dans l'intégrale du second membre 



(1) z — a = re*' , 



on obtient 



F{z)dz =. \F{a-\-re^'')ire»Ul& . 



De la condition 



lim {z — a)F{z)=. 



on tire 



I (z _ a)F{z) I < a pour \z — a\<â , 



o étant une quantité positive donnée toute petite qu'on voudra. Par la 

 substitution (1) cette dernière inégalité devient 



r I F{a -\- re^') \ < o pour r <^à^ ; 

 par suite on obtient de l'équation (2) et en vertu des n:os 1 et 2 



\JF{z)dz 



^ 27Tff pour r < â . 



Mais l'intégrale du premier membre de l'équation (2) étant indé- 

 pendante de ?^, cette inégalité exige 



(F{z)dz = , 

 ce qu'il fallait bien prouver. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. ups. Ser. III. 3 



