18 M. Falk, Démonstration du Théorème de Cauchy. 



Le théorème peut aisément être étendu au cas où le contour C 

 est complexe. On peut aussi admettre que le point z = a^ où la fonc- 

 tion est infinie ou discontinue, soit situé sur le contour même, mais 

 dans ce cas il faut ajouter à la condition 



(3) lim {z — a)F{z) = 



que la fonction doit être intégrable sur le contour entier^ ce qui a évidem- 

 ment lieu, quand la fonction est continue en tous les points du contour, 

 mais qui peut n'avoir pas lieu, si F{z) est discontinue das le point 

 z — a, même quand la condition (3) est remplie. Aussi on étend sans 

 peine le théorème au cas d'un nombre fini quelconque de points tels 

 que s = a '). 



21. Le numéro précédent contient le théorème fameux de l'illustre 

 Cauchy, aussi général environ qu'il a été énoncé et démontré par M. 

 J. Thom^e dans son excellent Traité: Abriss einer Theorie der comj^lexen 

 Functionen und der Tketafimctionen einer Veränderlichen. Nous renvoyons 

 le lecteur a cet ouvrage pour les conséquences si dignes d'attention 

 qu'a tirées M. Thom^e du théorème de Cauchy, relatives à la non-exi- 

 stence, dans l'intérieur de la partie du plan, de points où la fonction, 

 définie comme dans le n:o précédent, serait infinie ou discontinue, ainsi 

 que pour d'autres conséquences également importantes. — Je dois enfin 

 citer un Traité d'une extrême élégance, c'est le Cours professé à la Fa- 

 culté des Sciences pendant le 2:ième semestre 1881^—1882 par M. Ch. Her- 

 mite. Malheureusement je n'ai eu l'occasion de consulter cet Ouvrage 

 important de l'illustre géomètre qu'après la présentation à la Société 

 Royale des Sciences d'Upsal de ma démonstration actuelle du théorème 

 de Cauchy. Dans ce Cours de M. Hermite on trouve une exposition 

 extrêmement belle de la démonstration du théorème de Cauchy laquelle 

 et due à Riemann et a été fondée par lui sur le théorème de Green. 



1) Voir: Abriss einer Theorie der complexen Functioneu und der Thetaf'unc- 

 tionen einer Veränderlichen, von D:r J. Thom^, Zweite vermehrte Auflage p. 27 — 31. 



