24 Axel Söderblom, 



Weil in der analytischen Entwicklung der Function p{u) 



(22) ,Ku) = ^ + ^^>f+-l-^n^+^4-^u'+^^^^,.' + .. 



welche Entwickelung »für die Umgebung des Werthes u = 0» gilt '), alle 

 Coefficienten algebraische und rationale Functionen der reelen g^ und 

 ^3 sind, so ist also t reel für reele Argumentenwerthe t. Die Formeln 

 (22) und 



a , 



werden also für die directe Berechnung des Werthes des y^ hinreichen. 



Warum es nicht genügt, als Integrationsconstante nur die Anfangs- 

 zeit t^ zu schreiben, sondern t^ — k eingeführt werden muss, wird später 

 gezeigt werden. 



Um die Werthe, die y^ annehmen kann, bequemer beurtheilen zu 

 können, ist es zweckmässig die zwei Fälle, wo es 



1:0 alle drei Wurzeln der Gleichung ÄsC/g) = als reel; 



2:o nur eine der Wurzeln der Gleichung R^ij^) = als reel an- 

 zunehmen wäre, besonders zu behandeln. 



Die Perioden der elliptischen Function p(ii) sind der Art, dass, 

 wenn die Wurzeln der Gleichung 



4:t^ —g^r — g, = 



mit éj, ^2 und e^ bezeichnet werden, 



pis») = ^i P{"^ + w') = ^2 , J3(a)') = ßa • ') 

 Wenn alle Wurzeln der ursprünglichen Gleichung 



Bin) = 



reel sind, so sind auch e^ , e^ und e^ alle reel. Denn nach der allgemeinen 

 Theorie der algebraischen Gleichungen kann man nicht durch rationale 



1) Schwarz: S. 10. — Wenn die Coefficienten g^ und g^ nicht zu gross sind, 

 so convergirt die Keihe (22) für alle Argumente in dem ersten Viertel des Perioden- 

 parallelogrammes, und reicht also im Allgemeinen ohne Umbildung, und nach Um- 

 bildungen immer, für die Berechnung der Functionswerthe hin. 



2) Schwarz: S. 12. 



