Sur une Sommation de quelques Séries. 9 



Puisque la valeur de la série /(0 , A) est doimée par les équa- 

 tions (33) et (34), la somme de la série f{x , ^ ) est par l'équation (46) 

 réduite à forme finie. Dans ce paragraphe nous nous bornerons au cas, 

 où A est négatif et par suite f = — 1 ; dans ce cas on obtiendra des 

 équations (35) et (46) 



(47) %-^) 1— - = /(0 , A) + 1" lU) \ A' ( 1 + ^) - ./ (-^)j 



^ A 

 "<-^ 



En diflférentiant par rapport à x les deux membres de la formule 

 connue 



(48) A{x) -f. A(\. — x) = log n — log sin nx , 

 on aura 



(49) yl\x) -A'{\- x) = -JT cot JTx = _ nC(nx) , 



d'où l'on voit que l'équation (47) peut s'écrire 



(50) ï {^) L^=/{0, A) 



.= 1 -^ ,. ,^,_,. 



+ 



A n=i^n' \ ^—A^ \-A ^n^ A ^ 



Différentions les deux membres de l'équation (50) .« — 1 fois par 

 rapport à .«, et posons ensuite x = 0, il viendra 



.<-!, 



'«" I (f )'i = - K.....::,-i R lu)' ^'^-'(4) ■ 



où le nombre entier s est égal ou plus grand que 2. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



