Sur une Sommation de quelques Séries. 19 



Theoreme. Soit D nn nombre entier de l'une des deux formes 



D = , mod. 4 ; Z) = 1 , mod. 4 , 



mais assujetti à la conditio}!., que D ne soit 'po-s un nombre carré positif; 

 ■posons 



D = aQ'^ , 



ou A est un discriminant fondamental, et désignons par q tous les nombres 

 premiers positifs contenus dans Q, par n un nombre entier., et enfin par 

 (p( z, m) la fonction Bernoullienne du m'^'"" degré, on aura pour D < 



^,^k^ k ii9_(A\i \^^rw\ n ^9^ 9\ /-=1^/' 



|ä-(i)!iv— I 



et 



,tAA;4-+' - 1.2.3...(2«+1)|/3Z| ■ " i ^ q 'f'^' \ ■/-=: ^T)^^- A ' + V' 

 oii n > 1 , e^ 2^^'^'' D > 



Å^F^ - 1.2.3...(2n+2)|^/^|- V P - VYi^^j • ilTinÄ'^"+^^ ' 



oh n > . Dans le cas., oh D est un nombre carré positif, on aura p)our 

 n>0~ 



'y iR\ 1^ = n f 1 ^—\ A+.(2^)^"-^^ 



,t,^lc>h"'+' "^ ;V"+'^ ' 2.1.2.3...(2?i + 2) ' 



0« l'on désigne par p^ tous les facteurs premiers positifs du nombre D. 



Pour ri = 0,i) = — 3,-4,— 7,— 8,-11,— 12,— 15 

 nous obtiendrons du théorème précédent les formules suivantes: 



(79) 1-1 + 1- JL+J___L + J__ ^JL_ 



^ ' 1 2^4 5^7 8^10 3^3' 



