Sur une Sommation de quelques Séries. 25 



Par là est démontré le théorème suivant: 



Théorème. Si l'on désigne par A un discriminant fondamental et 

 par ï{ï) une fonction réelle qui est finie et continue po^ir ^ t < 1 , o?i aura 

 pour A < 



V 



^ (a) r / (0 sin 2 km dt = -^-i=-, " f ' (a) / (JL_) 

 ^f ^^OiO" A > 



i = oc / \ /1 



V A 



i= 



= 1 n, Ja 



f(t) co82k7itdt = L^ "°| 7a) /-fj^) 



Désignons maintenant par //'(/) une fonction qui est finie et con- 

 tinue poiir * > et assujettie à la condition, que la série 



m = 00 



I nit + m) 



m = Ci 



est convergente pour ces valeurs de t; en posant 



m = 00 



(131) /(0= 1 ip{t + m) , 



nous obtiendrons 



' /(0 sin 2k7Ttdt _-= Z ] K^ + m) sin 2 kntdt , 



ou, en introduisant t — m au lieu de t dans la dernière intégrale, 



J,''l m = cc nm + l 



I f(t)Bin2kntdt = ^ I yj(t) sin 2 kntdt 

 m=0 •-'m 



et par suite 



(134) I fÇt) sin 2 kjTt dt = 1 i//(0 sin 2ä;/t<cZ< . 





 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



