26 A. Berger, 



De même on obtiendra 



(135) / /(t) cos 2 k nt dt =. j ip(t) cos 2 kntd t . 



Du théorème précédent et des formules (131), (134), (135) résulte 

 cette proposition: 



Théorème. Si l'on désigne par A un discriminant fondamental, 

 et par ipÇt) une fonction réelle., qui est finie et continue pour t>Q et assu- 

 jettie à la condition., que la série 



^ /)i = CO 



V ilj(t + m) 



»1 = 



est convergente pour ces valeurs de t, on aura pour A < 



T (4^) rn'(t)^in2lntdt = ^^''^'t\^)Yw[-^ + ^^) 

 t=i ^k,'Jo 2|V— a| "=» ^«■«1=0 ^— A ' 



et pour A > 



* jfA) r^pu) cos 2kiitdt = , ^_, '"!"' (4-1 'T v' (— + A ■ 



Posons par exemple 



où a > ; à l'aide des deux formules 



I ö""'' sin .s* c/ i = 



»■•^ + s^ ' 



I e"''' co 







T 



S st dt = ^; — 



r' + s' ' 



où ?' > O , nous obtiendrons du théorème ci-dessus pour A < 



(1 36) 1" (A) _^ = - '~-T (A) . ^ 



