2 Göran Dillner, 



définit la fonction analytique f{z) par la condition que la dérivée f{z) 

 soit indépendante de la différentielle dz et de plus déterminée. 



Géométriquement les diflférentielles dz et dZ représentent les tan- 

 gentes considérées comme prolongements des éléments correspondants 

 des contours décrits par z et Z, la signification géométrique de la 

 dérivée f {z) étant par suite définie par le triangle formé par le quo- 



,• , dZ 

 tient . 



dz 



un point z = a où la dérivée logarithmique d'une fonction analy- 

 tique f[z) devient infinie est nommé dans le sens général singulier '); 

 et le nombre ^a qui se détermine par la limite, 



(3) ^ =T(^ " ''^ /(1 ' 



s'appelle tordre du point singulier a. Dans le voisinage du point a la 

 formule (3) s'écrira, 



(4) Çfl = —^— + E{z^, , . 



j{z) z — a 



où la fonction E{z) a une valeur finie pour z = a . En intégrant cette 

 formule on obtiendra le résultat suivant, c désignant la constante d'in- 

 tégration, 



(5) /(.) = c(._ar./'^^^\ 



résultat qui annonce que le point singulier a est un zéro d'ordre ^, 

 pour fÀ, positif, et un infini d'ordre ni = — ^ , pour fx négatif. 



Si la fonction E{z) ne change pas de valeur, pour z décrivant 

 le cercle infiniment petit de centre a, signé 0, le point singulier a est 

 dit pur. Tout point singulier, sauf le zéro pur d'ordre entier, et tout 

 point pour lequel la fonction E{z) change de valeur s'appelle point cri- 

 tique. 



Si la fonction f{z) est finie pour ^ = a et qu'elle ne change pas 

 de valeur pour z décrivant le cercle 0, le point a est nommé point 

 régidier de la fonction f{z). 



') Dans le Tidskrift cité j'ai appelé un tel point »märkespunkt». 



