Sur le Développement d'une Fonction Analytique. 3 



Fo?ictioti uniforme et multiforme. Fonction syneclique. 



2. La fonction /{:) est dite iiviforme ou multiforme jjour le 

 jJoint a suivant qu'elle ne change pas ou qu'elle change de valeur pour z 

 décrivant le cercle 0. Ordinairement la fonction f{z) est diie uniforme 

 si elle est uniforme pour tous les points du plan. Pour avoir un cri- 

 térium de l'uniformité ou de la multiformité d'une fonction f{z) pour un 

 point singulier a, étudions l'intégrale, dite circulaire, 







prise autour du cercle . En mettant (c — a) sous la forme complexe, 



z — a = p e'* , 



où, d'après les notations d'Hamilton, q et d désignent respectivement le 

 tenseur et l'angle de la quantité complexe (^ — a), 



(i = T{z ~ a) , e = A{z — a) , 



il s'ensuit, q étant le rayon du cercle , 



d log {z — a) = ide ; 



donc, en prenant l'intégrale (6) entre les limites ö = et o = 27ï, on 

 obtiendra d'après (3), pour q évanouissant, ce résultat, 



r®/(^ ^ f{a+_ç^ ^ . n^ {z-a)fi z)de ^ . 



J /(^) /(« + ?) ^0 /(4 



ou 



En répétant cette opération k fois, on aura la formule générale, 



(7) f{a + Qe'^-^)=f{a + ç)e''^-^, 



formule qui annonce que la fonction f{z) est uniforme pour le point 

 singulier pur a si ju est entier, mais multiforme pour le point singulier 



