Sur le Développement d'une Fonction Analytique. 5 



Réduction d'un point criiiqne jmr d'ordre fini à point régulier. 



Développement ctune fonction analytique dans le voisinage d'un 



point critique pur d'ordre fini. 



3. Posons daus la formule (5), pour ,u fini, 



(8) m = — fA, ^ 

 et ensuite 



(9) 5r(^) = (^_a)7'(^) = c/^«- ; 



alors, en supposant le point critique a de la fonction f\z) pur, c'est-à- 

 dire la fonction E(z) uniforme pour le point a, la fonction g{z) est finie 

 et uniforme pour z = a. Donc le point a est un point régulier de la 

 fonction g{z). 



Pour cela nous disons que le j^oint critique pur a, d'ordre fini /i, 

 de la fonction f(z) est réduit au point régidier a de la fonction gif). 



Pour un cercle de convergence du centre a, qui ne referme pas 

 d'autre point critique de la fonction f(z) que le point a, la fonction 

 g{z) est synectique et,, développée d'après la série de Taylor, prend la 

 forme, 



(10) g{z) = g{a) + (z - a)g\a) + ... + ^^^:^ g'\a) + . . . ; 



donc on obtiendra suivant (9), m étant un nombre entier positif ou un 

 nombre fractionnaire positif ou négatif, 



(11) fXA^ •'^(^) I ff» +...+ /"'(^) +.... 



^ ^ -'^^ {z-a)'"^ {z-ay-'^ ^|n(^_a)"'-''^ 



C'est pour m entier et positif que Caucby a fondé sur cette for- 

 mule le calcul de résidus. 



Intégrale de lacet. 



4. Désignons par 



(12) ff{z)dz 



l'intégrale prise suivant le lacet A , allant du point z^^ situé au dedans 

 du cercle de convergence de la série (10), au cercle entourant le point 



