Sur le Développement d'une Fonction Analytique. - 7 



Théorème fondamental. Corollaire. 



5. Dans le Tidskrift cité j'ai donné une démonstration du théo- 

 rème fondamental' sur l'intégrale prise entre des limites complexes ^). 

 Je reproduirai ici cette démonstration, en la modifiant un peu pour plus 

 de clarté. 



Posons l'intégrale^ 



C 



(17) f/,.= I f{z,)dz^ , 



prise suivant la voie décrite par s, du point a au point b , et supposons 

 que la fonction f{z) soit synectique pour les deux voies z^ et 2„j^i et 

 pour l'aire incluse entre elles; posons ensuite, pour /\u désignant la 

 différence d'une variable tout indépendante u, 



(18) z,+, — z, = (p,{z,.)Au , 

 d'où l'on tire par differentiation, 



(19) dzr+i — dz, = (f'r{z)dz,/\ u , 



où la fonction <fr{zi) est supposée arbitraire mais synectique pour la 

 même région que f{z,) et de plus satisfaisant à la condition, 



(20) (fria) = (/:v(6) = , 



les deux voies consécutives ^^+i et s,, étant par suite, pour l\u infiniment 

 petit, infiniment voisines l'une de l'autre; alors il s'agit de déterminer 

 la différence, 



(21) A ?7, = rf{z,+,)dzr+, - ff{zr) dz^ . 



^ ■Ja <-J a, 



Si l'on pose, 



/(^.+i)-/(^.) = uiz:) , . 



'r+l 



— z. 



•) Dans une Note récemment insérée dans le journal de Grelle, M Baltzek a 

 publié une lettre très remarquable de Gauss à Schumacher de 1811, dans laquelle 

 Gauss énonce l'idée claire et précise de ce théorème et de son importante applica- 

 tion au calcul des périodes. 



