Sur le Développement d'une Fonction Analytique. 



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8. On distinguera trois parts du développement (34): 1" la série 

 de Taylor; 2" la série adjointe, formée par la somme des séries sembla- 

 bles à celle de Taylor; 3" la part complémentaire, formée par la somme 

 des séries procédant suivant les puissances négatives de [x - a,). On 

 fera de plus les deux remarques suivantes sur le développement (34). 



1° La condition (38) T étant remplie, si T{x — a^) <T{a,— a^) 

 (r = 1 , 2 , . . . , j') , la fonction f{x) est identique à la série de Taylor, 

 la somme de la série adjointe et de la part complémentaire étant par 

 suite nulle; si au contraire T{x — a^ > T {a,. — «o) ('' = 1 i 2 , . . . , r) , la 

 série de Taylor et la série adjointe sont toutes deux divergentes mais 

 leur somme est convergente pour tous les points au dedans du contour 

 de convergence, la différence entre la fonction f{x) et sa part complé- 

 mentaire étant finie [Tn" 34, anm.]. 



2° La condition (38) 2° étant remplie, la fonction f{x) est iden- 

 tique à la somme de la part complémentaire et des n premiers termes 

 de la série de Taylor et de la série adjointe, le nombre n ayant une 

 valeur quelconque. Donc, si X est la plus petite valeur de n pour qui 

 la condition (38) 2" soit remplie, on aura les deux développements 

 identiques, 



f{x) = j/(ao) + "i A[^^ \ + /'(«o) -h 'f ^i"' \ix-a,) + ... 



(n-l) 



/(«o) 



+ 



n — 1 



-f 2 -4^-j I (*" — «o)""' -1- Ifi pa^rt complémentaire , 



fix) = /(ao) + 2 J<"' [ + ...+ 





À— 1 



+ 1 ^ili (^'-«o) 



A-1 



+ la part complémentaire; 



donc les coefficients des puissances {x — a^^ , . . . , (a- — «o)""^ du premier 

 développement doivent être identiquement nuls [Tn° 37], c'est-à-dire 



(A) 

 /(«o) 



+ lAf = , 



(39) 



(n-l) 



n— 1 



+ 2 ^';ii = , 



