14 Göran Dillner, 



' Il 



(i.) (n-l) 



identités remarquables qni expriment les dérivées f(ao)^...^f(ao) en 

 certaines séries infinies. 



9. Si le point a^ est identique à un quelconque des points 

 ä!j , . . . , a,- soit ûîj , le développement (27), à l'aide de (29) et (32), s'é- 

 crira comme il suit, 



m, (»ii+l; fmi + Ti— 1) 



(40) m = ^-#^ + (. - a,) £i%I + . . . + -Jh(^ (^,-aJ-^ 



?n, -}- 1 m-\-n — 1 



+ 1 A'i-' + A'{\x _ aj + . . . + A\:l, (x - aj"-' 



(■ = 2 



(m,.-]) 



' .^ 1 /'^ ^ ^'«'■ "• z' ^ Nm,,— 1 ~t~ • • • r 



résultat qui, pour un contour de convergence qui ne renferme aucun 

 autre infini que le point a^ , est identique au développement (9). 



Remarque. L'identité (27) comprend aussi le cas que les infinis 

 uniformes de la fonction f(z) soient d'ordre infini ou essentiels. Ainsi, 

 en supposant f(z) = (p(z)e^'^'^ , les fonctions (p(z) et x (^) ayant des infinis 

 uniformes d'ordre fini au dedans du contour C, la formule (27) s'appli- 

 quera, pour les infinis de x(^)^ au développement f(z) = (/9(0) jl + ^^ ^ 



-|- ^-^ — |- . . . î , le nombre de termes de la part complémentaire qui 

 correspondent à un infini de la fonction xC^) étant par suite infini. 



10. Supposons que les points ûîj , . . . , a^ soient des points sin- 

 guliers, d'ordres entiers positifs ou négatifs m, , . . . , m^ , de la fonction 

 /(2), tous ces points situés au dedans du contour fermé C qui de plus 

 renferme les points «o et x; alors, en s'aidant sur la formule (3) ou 



(41) m,. = / (. - a,.) y^ , 



et en appliquant la formule (27) à la fonction ^J^ , ou obtiendra l'iden- 



/ (2) 

 tité suivante. 



