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Remarque. En remplaçant dans les identités (34) ou (40) la fouc- 

 tion f{jo) par la dérivée logarithmique ^ ' d'une fonction 'P{x) et 



en intégrant entre les limites x^ et .-c, on obtiendra la fonction <t>\x) 

 développée en produit d'une forme bien plus générale que la forme (45). 



11. Les résultats obtenus ci-dessus (n"* 6 — 10) ainsi que les 

 méthodes suivies pour les obtenir sont en l'essentiel les mêmes que 

 dans les Articles du Tidskrift cité, où j'ai établi ces résultats comme 

 des conséquences simples et naturelles du théorème fondamental (23). 

 D'un autre point do vue, la théorie d'où émanent ces résultats remonte 

 en effet à l'inventeur du calcul des résidus; car en observant que dans 

 (27) la différence entre la fonction proposée f{x) et sa part complémen- 

 taire (somme des résidus) est une fonction synectique pour tous les 

 points du contour C et de l'aire incluse, cette différence se développera 

 suivant la série de Taylor pour C comme contour de convergence, le 

 développement devant être arrêté pour la plus petite valeur l de n 

 pour qui la condition (38) est remplie. 



Remarque. Suivant la méthode de M. Weierstrass M. Mittag- 

 Leffler a publié, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de 

 Stockholm pour 1877, un théorème qui a été l'objet d'un Mémoire de 

 M. Weierstrass [Monatsbericht, Août 1880; Bulletin des Sciences Mathé- 

 matiques et Astronomiques, Mars 1881] et de deux Lettres de M. Her- 

 mite à M. Mittag-Leffler [Actes de la Société des Sciences de Helsingfors, 

 1881]'). Voici le contenu de ce théorème, comme l'a formulé M. Weier- 

 strass, exprimé par mes résultats de 1871. Posons, pour «^ , . . . , «i- 

 désignant des points différents, 



/„G.) = -^ii— -f.-.-f- 



Gt — a,)'"-- 

 F,.{^) = ^<'' + Ar\x _«,) + ... + AT_,ix - a,.)"-' +/,.(^0 , 



F{x) = /(^0 - j/(ao) + {x - a,) fia,) + . . . + fcl^^/S) j , 



') M. Heemite a fait des considératioBS diverses sur le même sujet dans son 

 Cours professé pendant le 2° semestre 1881 — 1882. 



