Sur le Développement d'une Fonction Analytique. 17 



où /",.(*') est une fonction rationnelle de ,r, qui est infinie au seul point 

 a,, et s'annule pour x = — , et où F,.(x) est la somme d'un polynôme, 



procédant suivant les puissances entières et positives de (x — a,.), et de 

 la fonction /,.(.c), et où enfin FÇv) est la différence d'une fonction ana- 

 lytique uniforme t\x) , ayant les infinis ö; , . . . , a,, , et d'un polynôme 



semblable à celui de F^x) ; alors, pour lim a», = — , c'est-à-dire pour la 



condition (38) 2° où ?; doit avoir sa plus petite valeur l^ on aura d'après 

 (34) l'identité, 



i^(.r) = "v>,.Or) , 



où F(x) est une fonction analytique uniforme qui, au dehors du point 

 x = — , devient infinie seulement aux points a^ , . . . , a^ , et de plus 

 possède la propriété que la différence 



F(x)-f,.ix) 



est finie pour x = a,, et s'exprime, au voisinage du point a,., par une 

 série procédant suivant les puissances entières et positives de (x — a,.) . 

 Ou, brièvement, le théorème en question s'exprime comme cas particulier 

 de l'identité (34) ou de l'identité plus générale (27) pour un contour de 

 convergence infiniment grand. 



Cas où la fonction /(x) est paire d'ordre N. 



12. Les JSf racines N'*™'' de 1 étant désignées par 



(46) e, = e— ((j = l ,2 , . . . , N) , 



une fonction f(x) jjaire d'ordre N se définit par l'identité, 



(47) fie,x)=f{x) (p=l,2,...,iV) . 



Nova Acta Keg. Soc. Öc. Ups. Ser. III. 



