Sur le Développement d'une Fonction Analytique. 19 



Remarque. Pour un contour de convergence qui ne renferme 

 aucun des infinis aj , . . . , a^ l'identité (50) prend la forme, 



/G-) =/(0) + p^r'(o) + ^r\^) + . . . , 



d'où l'on conclut que les dérivées /(0) , . . . , /^^""(O) , /'^+"(0) , . . . , /'^""(O) , 

 . . . , d'une fonction paire f{x) d'ordre JV" sont nulles. 



Détermination des ordres des points singuliers d'une classe étendue 

 (^inversions. Transformation. 



13. Posons le produit de m facteurs linéaires, 

 (51) P{x) = {x — e^)...{x — e,„) , 



et l'intégrale définie, 



dx 



(52) u = 



" P{x)" 



pour 71 ayant une valeur positive ou négative quelconque; alors il sagit 

 de déterminer l'ordre des points singuliers de l'inversion générale, 



(53) X = J(u) , 



ayant la valeur constante x^ = /(0) et la dérivée 



(54) ^ = J'iu) = Pia^r = P[J («)]'' . 

 au 



L'inversion J(u) est de plus, pour a;^ = e,. (r = 1 , 2 , . . . , ?«), une 

 fonction paire d'odre n, n étant un entier positif'). 



1) Voir mon Mémoire, A2}irçîi, d'une Nouvelle manière de représenter les inver- 

 sions des intégrales hypereïliptiqties, inséré dans les Mémoires de la Société des 

 Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, t. V (2" Série), 3" cahier, Mémoire 

 que je désignerai par la lettre A dans les citations. 



