Sur le Développement d'une Fonction Analytique. 21 



Eemarque. C'est seulement pour ii positif et m > n qu'il y a des 

 infiuis ordinaires de l'inversion J(m); pour tout autre cas l'infini h est 

 essentiel. 



3° Ordre des zéros de la fonction {J{u) — e,, j . 



16. Soit c un zéro de la fonction [J{u) — e^]; alors, en mettant 

 P(.r) = (.«• — t',) Q (-ï-) , la dérivée logarithmique de la fonction {J(m) — 6,.} 

 prend la forme, 



J'(u) _ Q(xy 



et, par suite, l'ordre des zéros de la fonction {J(u) — e,} se déterminera 

 par la formule, 



(58) I (ji — cj - 



J (î<) — es 71 — 1 

 Donc, l'ordre de tout zéro de la fonction {/00 — e^} est 



n 



n — 1 



Remarque. C'est seulement pour n = 2 que l'ordre des zéros de 

 la fonction {«/(«) — e^] est entier c'est-à-dire que le point c est un point 

 régulier de l'inversion J(ii) ; en tout autre cas le point c est un point 

 ou multiforme ou essentiel (n = 1) de la inversion J(iî). 



4° Transformation de ^intégrale {52). 



17. Désignons par C une constante qui sera convenablement 

 déterminée, et posons, pour M positif, l'équation [^(10)], 



(59) X = J(^u) = e, + Cr^ ; 

 ensuite, posons le produit 



(60) %^ {^) = (1 + ^. n . . . (1 -f E„:ê") , 



où les m valeurs E^ , . . . ., E„, sont données par la formule, 



(61) ü;, = ^^^(r=l,2,...,m) , 



