22 GôRAN Dillner, Sur le Développement d'une Fonction Analytique. 



la valeur E^ étant par suite nulle; alors l'intégrale (52) se transformera 

 dans la forme suivante, 



(62) u = p- 



^^ A,fn~fi [^ ^^ 



= -MC 



P(.r)" ^lo ^P(s^)" 



où les limites inférieures x^ et ^g doivent satisfaire à l'équation (59), et 

 où les zéros de la fonction (x — e^ sont les infinis de la fonction | et 

 réciproquement. 



Comme cas particulier je remarquerai que la formule (62) trans- 

 forme l'intégrale elliptique de la forme [?i = 2 , m = 4] à la forme 

 [n = 2 , 7ft = 3] et depuis de cette dernière forme à la forme ordinaire; en- 

 suite que l'inversion de l'intégrale elliptique de cette première et troisième 

 forme, d'après (55) et (57), a tous ses zéros et tous ses infinis simples, 

 €t que l'inversion de l'intégrale elliptique de cette deuxième forme a tous 

 ses zéros simples mais tous ses infinis doubles; et enfin que chaque 

 facteur linéaire du produit P{x) on du produit "^ (^), d'après (58), a tous 

 ses zéros doubles. 



Je continuirai ce Mémoire une autre fois en appliquant la théorie 

 précédente aux fonctions simplement et doublement périodiques *). De- 

 puis j'aborderai la question plus difficile de développer une fonction 

 analytique pour un contour de convergence qui renferme des points sin- 

 guliers purs d'ordres fractionaires. 



1) Dans les Articles du Tidskrift cité j'ai appliqué cette théorie à des 

 diverses fonctions simplement périodiques en faisant usage des deux conditions de 

 convergence (44) 1" et 2o et des formules (39) pour la condition (44) 2". 



