Sur les fonctions elliptiques §(11). 11 



En faisant, clans la formule (10) n = — m -f 3 , on aura une for- 

 mule de réduction de l'intégrale J = f{p(ii) — a}'" du . 



L'intégrale 



r du 



peut être calculée par la formule de réduction générale (10). Elle peut 

 aussi être calculée par une des formules qu'a déduites M. Weierstrass 

 pour le théorème de l'addition de la fonction elliptique pÇu). — En 

 effet, on a ') 



„(„ + ,,\ n(i,) J- [6{yj(»)P - ^ff J {p{u) -pjv)} + 4:{ p{v)y-g,p{v) -g^ +p\u)p'{v) 



En posant dans cette équation p(v) = a , et en l'intégrant, on aura 



du ^ _ 2 ^'(^< + ») _2au— ^^^'' —9^ r__^ 

 {p(m) — a}'^ a(ii±v) 2 J p){u)- 



,. , r du nO'(u + v) o 12a''' — q2 C du 



^ ' '' J p(u) — aY a(u + v) 2 J p(u)—a 



"" p (jO — '* 



Quant à la valeur de la fonction — ^^ — ~ ^ , nous y reviendrons 



o(ii ± v) 



en traitant l'intégrale l-^— . 



J p {ii/j — a 



Soit^ dans la formule (10), n = nombre entier -\- - . 



Quelque grand que soit ?i, en employant plusieurs fois la formule 

 de réduction (10), on pourra rendre l'intégrale proposée dépendant des 

 intégrales 



r^^ \ ^" , ^VK^Ö^¥cZ^. , \{p(^u)-aYl.du . 



Calculer la valeur de l'intégrale 



du 



(13) J = 



VK") — ' 



1) Voir Schwarz (3) § 12 p. 13. 



