Sur les fonctions elliptiques $(w). 19 



d'où 



(4) /l;.(.^) d^c =' ^ ^, log i^^L^lM^Mß^^^^^ 



1 lo VëA — e„ \lp{u)~e^,-\-iex — ef, Vjj(M)-e^ 



V<?A — e^ Va — er {iei — e^ + V«^. — er} V/>(") — eA 



Si, au contraire, eK \ ^^ , ou aurait 2 el -\- e^ep = (?,„ — e;.)(er — e;.) 



Alors, il faut mettre 



i 2 el + ßf^ev = Ve^ — «A Ve»- - a , 

 d'où 



,-, r. . , , 1 , Ve^ — 6;. gr;.0«) - Vev — a ^^;.(m) 



(5) I bn>.{:u)<lu = log 



Ve^ — eA Ver — a Ve^ — eA — Ver — ex 



La formule (6) p. 3 donne (e^ — ^r) + (fr — e?.)^}c>.{u) + (eA — e^)lrA(M)=0, 

 d'où 



(eA — er)|^A(^0 — («^•^- — e^)etA(M) = (eA — e^) — (eA — e,0 , 

 d'où 



]fex — ër §uk(u) + VeA — efi'êvx {u) _ jn — er — VeA — e^ ■ 



VeA — er + VeA -- e^ VeA — er ^«A^O — VeA — e^'^vxiii) 



Donc, on aura, outre la formule (4), 



,f\ f-c f \ 1 1 1 VeA — er —iex — e^ 



(6) Uoa(»)c/î< = log '^ 



VeA — e^ VeA — er VeA — er '§^lX{u) — i ex — e^ !^rA(2<) 



De même, on aura, outre la formule (5), 



^ns C-c r \j 1 1 Ve« — eA + Ve»- — eA 



(7) \iox{u)du= log '■ ^' 



Ve^* — ex Ver — eA Ve^u — eA 'êvX^u) + Ve» — ex S/iiÇii) 



Afin que, dans la formule (3), 2el-\- e^ér soit < , il faut que ex =e2 , 



si ei > (?2 > ej . Donc, V— (2 el + e^^r) = V(e« — e;.) (eA — er) . 



