Sur les fonctions elliptiques i'(")- 35 



Une formule de réduction directe de l'intégrale (4) s'obtient ainsi: 

 En diflféreutiant !Ï,,;.(")^'«a(^0 i ^n obtient 



La dernière des formules (6) p. 3 donne 



{ex — eu) §h(.u) = (e;. — e,) |^a(?0 — (^^ — e,) . 

 Par conséquent, la dernière équation devient 



En remplaçant dans cette équation p par vi — 1 et en l'intégrant, 

 on aura 



J '^ m [ex — e,.) rn ex — e^ J '^ 



Quelque grand que soit m, en opérant ainsi- plusieurs fois, on par- 

 viendra à réduire l'intégrale (4) à l'intégrale J = jSo!.{u)du^ ou à l'inté- 

 grale j§ox(u)§fiX(u)du. — Pour J voir § 2. 



En vertu des formules (12) pp. 5, 6, l'intégrale (4) donne les 

 valeurs des intégrales 



C sin am u , C siri am u , C sin am u . sin"" coam u , 



: — : du ^ ^^- du ^ I -. — aw , 



J cos am u . sin"' coam u J cos'"+ am u J A ^^'^i *< 



i — m u ^ j^^^ ^ i ^.^_^ ^^ ^^ ^ ^^^„, ^^_^ u . du , sin am î< . A™ f^™ u . du . 



J A""^' am w ' J J 



Chercher la formule de réduction de l'intégrale 



(6) J=ft»^»c?«, 



l et m étant des nombres entiers positifs. 



Première transformation: Par l'équation §l,x{u) = 1 _|_ (e;_ — efi)^lx{u), 

 (6) p. 3, on peut transformer l'intégrale (6) en une somme d'intégrales 



