36 Axel Söderblom, 



de la forme j^liiu^chi., si m est pair, en une somme d'intégrales de la 

 forme \'êl\(jn)'é^^{iC)du ^ si m est impair; ou en une-somme d'intégrales 

 de la forme \è''i[u)du^ si l est pair, en une somme d'intégrales de la 



forme Koa(**) ^^a(")^^^' i ^^ ^ ^^* impair; intégrales dont les valeurs sont 



données précédemment. — Mais cette transformation ne pourrait s'opérer, 

 sans que l'un des exposants s'augmente au-dessus de sa valeur primitive. 

 Deuxième transformation: Par la differentiation du produit ^^/m) 

 ^^a(«)^.aW5 on obtient 



au '^ 



= i>^^r(«)^;tX«)^M + q^ei-e;)%t\uyê^-,\uyeM + {ex- eO^^rO0^;,î'(«) 



= (2^ + 'i + 1) (^A - e;) -èinn) ■èi\\u)+v ^^l'c^o ^;.r 00 - ? (^^ - e.) -êinu) ^^r m • 



En remplaçant, dans cette équation, p par l — 1 , q par m — 1, et 

 en l'intégrant, on aura 



(7) J U^O ^,.00 ch. = ^.^„ZDiex-e V) + 



; _|_ m — l ex — ev J i -{- m — l ex — ev J 



En appliquant successivement cette formule de réduction à l'une 

 ou à l'autre des intégrales qui figurent dans son second membre, on 

 parviendra à transformer l'intégrale proposée en une somme d'intégrales 

 de la forme citée dans la première transformation, sans qu'aucun des 

 exposants soit augmenté au-dessus de sa valeur primitive. 



D'ailleurs, on a, par la quatrième des formules (6) p. 3, 



d'où 



(8) (ex - e,) j-Uu)&;jX^C)du -- ß'„lXa)S;,(u)du + ß^-,Xu)^;ïX^^)du = 0. 



