38 / Axel Söderblom, 



D'abord, on a l'équation de M. Weierstrass (/) p. 5 



(2) f 'êo).(^u)'§fiv(ii)du = log'§vX{u) . 



Quant à la réduction de l'intégrale (1), on a identiquement 

 (.er - ex)U^y§^Å^) - ^'ofC^O è;,.(«) = { {er - e,)^l,{u) - 1} §[f{u)ë^X^i) 



En l'intégrant, on aura de cette équation 



(3) fU^O^',r(^Od'u = ^j\ ^Â^ L^ fkHC^OU'O^^ ■ 



•_/ t — J- €}, — €i' €X — ^r %J 



Cette formule de réduction est applicable, si ce n'est que / — 1=0. 

 Lorsque ^=1, on n'a qu'à employer l'équation (2). — Quelque grand 

 que soit /, en employant plusieurs fois la formule de réduction (3), on 

 finira par rendre l'intégrale proposée (1) dépendante de l'intégrale 



J, = I èiiv(u)du ^ si / est pair; de l'intégrale J^ = f îol(u)§iir{u)du ^ si l 



est impair. — Pour l'intégrale J, voir § 4; pour J^ voir l'équation (2). 

 Chercher la formule de réduction de Vintégrale 



m étant un nombre entier positif. 

 On a 



dè'M 



^"'^ ' = — k 



d 



II 



{e, - e.ye-Xuyê)M'^,..{^) = - K^^ - ^.')^^7'(«)^„;.(")^l» 



= - Kex - e.y§,,üuW;X^) + Kei - e,)Uu)§'-Xu) . 



En remplaçant, dans cette équation, k par m — 1 , et en l'inté- 

 grant, on obtient 



(5) rioM^Uu)du = i-^ i^i^A^ + '±=:^ rSo,(:aï§;i\^^)du . 



kJ ^ m — L ex — ev ex — ev kJ ^ 



