Sur les fonctions elliptiques ^(m). 39 



La formule de réduction (5) est applicable, si ce n'est que 

 m — 1 = 0. Pour m = 1 , on n'aura qu'à employer l'équation (2). — 

 Quelque grand que soit m, en employant l'équation (5) plusieurs 



fois, on arrivera à l'intégrale Jj = 1 §ok(u)du ^ si m est pair; à l'intégrale 



J, = /io;.(«)^""''00''^" 1 ^^ "* ^®* impair. — Pour Jj voir § 2. 

 Chercher la formule de réduction de l'intégrale 



(6) J=^/§U«)è';»^'', 



l et m étant des nombres entiers positifs, et l, m>2. 

 On a identiquement 



(7) /U^')^;M)drc = ßoiuy;^\u)t%{u)du 



- fu^o^;A^onxu)du + '^^ fu^o^;7Xu)du, 



kJ ex — e^ ^j 



ex — ev 



par la relation {ey,-ev)o\{iC) + {ev — ei)o'^{ih) + {ex~e^ol{iC) = , (6) p. 3. 

 Parce que ex — ev = ^loO-t) — Ho(u) , (6) p. 3, d'où 



ïlx(u) = £k(«) 



ex — ev ' ' ex — ev 



l'équation (7) se transforme en 



(8) Juu)^;x^)du = ^^;~;^^, /gy(^)y(^)^» + 



+ - 



^fu^') *;-'oo^« - ^Jf^.y?:,^ («)?;7V)?i(") ^" 



ex — e 

 D'ailleurs, on a identiquement 



ex — ev «_/ ex — e^ j 



