Sur lks fonctions elliptiques S{u). 43 



Si l'eu remplace, dans cette équation, 2^ par ^ — 1 , q par m — 1 

 et qu'on l'intègre, on en obtiendra 



J ^ l -i- m ~ 1 



(m — 



En appliquant plusieurs fois cette formule de réduction aux inté- 

 grales qui figurent dans son second membre, on parviendra à rendre 



l'intégrale proposée dépendante d'intégrales de la forme §[„(11) du , ou 



de la forme |b;.(,(?<)i>o(")'^" ' ^°^^^' iious avons déjà donné les valeurs. 



D'ailleurs, on a identiquement ^-J;„(m) . |;„(m) = ^'jju') . ^'-'(u) . ^^„(?0 ^ 

 d'où 



Si l'on fait, dans cette formule, ?■ = / — 2 , s = ?« , et qu'on l'in- 

 tègre, elle se changera en 



En éliminant, entre (5) et (6), une des intégrales 1 ê;^\?0^roOO^" 



®t / è')Su)'§"^j'^{u)du , on aura une formule de réduction de l'intégrale 



proposée (4) plus commode que (5). 



En vertu des formules (12) p. 5, l'intégrale (4) donne les valeurs 

 des intégrales 



fcos' am u . A™ am u , ■ Tcos' am u , C A' am u , 



I ^- — du , — du , 1-^^ du . 



J sin +"' am u J sni™ am m J sm"' am u 



