Sur les fonctions elliptiques ç(m). 53 



dépendante d'une intégrale de la forme /ï;.^(«)'^"5 si nn des exposants 



l et m est pair, d'une intégrale de la forme pLC'O^AvOO'^" 5 ^^ '" ^'"'^ 



ni l'autre des exposants l et m ne sont pairs. 

 D'ailleurs, on a 



-~{?o,A'0?L(«)^l..(«)} = 



= (p + i)^ir(")^i"(«) + ï'^s.(")?ir('0 - (y^ + '7)*a'0?r(«) , 



en vertu des formules (Q) et (8) p. 3. 



Eu remplaçant, dans cette équation, 2^ P^^i' ^ — 2, q 'par m — 1, et 

 en l'intégrant, on la transformera en 



(10) (/- 1) j?U?0?r(«)rf^' + ("^ - ^) j^;;'(")nU«)<^'-' = 



En éliminant, entre (9) et (10), une des intégrales l^.^(ii)'^f~'('-'')d>.c 



^^ p;^^(")^ri.('Of'" j 011 fiura une nouvelle formule de réduction de l'inté- 

 grale proposée (8) plus commode que (9). 



Si l'un des exposants l et m est égal à l'unité, il faudrait em- 

 ployer l'équation (3); si l'un et l'autre des exposants l et m sont égaux 

 à l'unité, il faudrait avoir recours à l'équation (2) pour trouver la valeur 

 de l'intégrale. 



En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (8) donne les va- 

 leurs des trois intégrales 



Cl -m 1 c A' am" ) rA"'coamz« , 



icos am u . sui coam u .du , I — == du , |-= du . 



J - j sin'" coam u J cos' am u 



