Sur les fonctions elliptiques §(11). 57 



En employant plusieurs fois la formule de réduction (4), on arrive aux 

 intégrales J^ = />.(«) ^o»^^ «S J2 = P;^(")?AvW^^" ^ J3 = /^v^")?o»c?" 



«t -Il = |*o;.(")^o.«(")?o»f^"- — Pour J, voir § 5; pour J^ voir § 11; 

 pour J3 voir § 7; pour J^ voir l'équation (2). 



Cherche!' la formule de réduction de l'intégrale 



l et m étant des nombres entiers j^ositifs. 

 On a, par l'équation (6) p. 3, 



(6) kM%(^^)KX^^)du = -^— fu^KA^)K.W^ - 



J ex — eu,j 



ei — e^. 



1 



ei — Cf, . 



En employant plusieurs fois cette formule de réduction, on pour- 

 rait rendre l'intégrale proposée dépendante d'une intégrale de l'espèce 



|*o;.0')-oi'(")'^" ' si un des exposants est pair, d'une intégrale de l'espèce 



l^o;(*05ou(")^oi'(^)'^'' 1 ^^ aucun des exposants n'est pair. — 

 D'ailleurs, on a 



= (p + qm>y^r,x^oKX^o +p(e>. - e.nn^)^%»KX^^) + 



J,qie,-e.)tlj\u)ï%\u)ïS^C) . 



Si l'on fait, dans cette équation, p = / -- 1 , q = m — 1 ^ et qu'on 

 l'intègre, elle se change en 



(7) {l-l){ei--e.)jï[,{ii)^:;^\uye^X^^^^^^^ 



= ?a («)*„T'C") -G + ^'^ - '2)jKf{^<)è-^u)^Mdu . 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 8 



