Sur les fonctions elliptiques $(m). 71 



En éliminant, entre (14) et (15), une des intégrales I ?J^;^(?/,)?^, ^()()Ç^^2(M)ri« 

 ^* f^'oÄ"C")^v/*C'0^v;.(")^" 1 °° ^"^^ ""^ formule de réduction de l'intégrale 

 /*a(") *)•/»(") ^"aC^O^^" plus commode que (14). 



Chercher la formule de réduction de l'intégrale 



(16) j = ji„A(«)^:;(«)§:A(")^« , 



î?i et n étant des nombres entiers positifs. 



D'abord, on a, en vertu de la dernière des équations (6) p. 3, 



(17) kxi^K,(^^)Kx{n)du = '-^- kx{^K^>)ti,{u)du - 



kJ QX — €pi J 



-^^ fu^)K,(u)KAu)du . 



"K — C|U J 



En appliquant cette formule de réduction aux intégrales qui figu- 

 rent dans son second membre, on arrive à des intégrales déjà calcu- 

 lées. — D'ailleurs, on a 



du 



= p{e, - e.W-\u)tl,{u)n^,{un^{u) + q{ei- é.)?aM^^;\") ?.^a(«) 

 = p{ex - e.) Ki{^C)K-;MK,{u) -pie, - e,)^„^iaW.;\u)^l,iu) + 



En faisant, dans cette équation, p = m — 1 et q = n , on obtien- 

 dra, en l'intégrant, 



(18) fuu) K,{u)uu)du = _ ^:r'(^og:;.(^) 



J ^ (ni — 1) (ex — e^) 



+ '^V'^^ ' 7r=v AoA(«)?r(^*)i"A(") ^^ , 



