72 Axel Söderblom, 



formule de réduction toujours applicable, si ce n'est que m — 1 = . — 

 Si m = 1 , on n'a qu'à employer l'équation (9). — En employant 

 plusieurs fois la formule de réduction (18), on arrive à l'intégrale 



Jj = hg}(u)ïl){^u)chi ^ si m est pair, mais à J^ = I §(,;.(«) ^y^(")?";i(")<^«^ 5 si 



m est impair. — Pour la valeur de J, voir § 6; pour celle de l'inté- 

 grale Jg voir l'équation (9). — En éliminant, entre (17) et (18), l'inté- 

 grale \^o)k^')Ku^i^'')Kxi''-'')'^^'' 1 *^^ 'àwxsL la troisième formule de réduction 



de l'intégrale proposée, dans la seule intégrale de laquelle l'exposant n 

 sera réduit de deux unités, l'exposant m restant le même. 

 Chercher la formule de réduction de Vintégrale 



(19) j=/^'„a(^)i:;(w)?:a(«)'^^^ , 



/, m et 71 étant des nombres entiers j^ositifs. 



Par la relation ^li(u) = 1 + (e;. — e».)?^/«), (6) p. 3, l'intégrale pro- 

 posée peut être exprimée par une somme d'intégrales de la forme 



j^ox{u)^1^ {u)du , si n est pair, de la forme i'^l!<iu)^'"{u)^^j^(u)du, si n est 



impair, intégrales dont les formules de réduction sont déjà données. 

 Mais cette transformation ne pourrait être employée, sans que l'expo- 

 sant l ne fût augmenté audessus de la valeur primitive. — Mais, on a, 

 comme dans l'avant-dernier problème, 



(20) jUuK,{u)^:,(u)du = '±Z±-k,(u)ï:-\u)K,{r^)du - 



6i> — 6^ * 



ex — e^iJ '^ ,: ex — e/j.J 



Cette formule de réduction n'affecte que l et m, en laissant l'ex- 

 posant n intacte. — De même, nul des exposants n'en est augmenté 

 audessus de la valeur primitive. 



D'ailleurs, on a aussi 



^ { Kxi^^) K,(^) U^)] ={P + r) (ex - e.) 'iXi^) ?->(«) Kxi^) + 



C/ 6y 



ex - e,. -■ ■ ■ "f" 



